Как рассчитать дифференцированный платёж по банковскому кредиту?

Разбираем решение экономических задач профильного уровня из ЕГЭ-2022 по математике

Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ.

Задачи на расчёт дифференцированного платежа по кредиту

Дифференцированный платёж по кредиту — система выплат, при которой сумма основного долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год (месяц) отличаются и состоят из тела основного долга и начисленных процентов на остаток долга.

Таким образом, если кредит взят на n лет (месяцев), то сумма кредита — S денежных единиц — разделена на n равных частей, и каждый год (месяц) после платежа сумма долга уменьшается на s/n денежных единиц по сравнению с долгом на начало года (месяца).

Размер задолженности по кредиту после внесения очередного (k-го) платежа составит:

Решение задач с дифференцированными платежами по кредиту предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчётов по формулам.

Задача 1. Рассчитать общую сумму выплат после полного погашения кредита

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 3,85 млн руб.? Округления при вычислении платежей не производятся.

Решение

Согласно условию задачи, в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Следовательно, речь идёт о дифференцированных платежах.

Пусть кредит взят на n лет, p = 0,1 (проценты в десятичной дроби).

Ежемесячный платеж основного долга = 14/n млн руб.

Тогда основной долг по кредиту каждый июль будет составлять (в млн руб.):

В январе каждого года начисленные проценты составят:

Ежегодный платёж = Сумма основного долга + Начисленные проценты

Наименьший годовой платёж — это последний платёж:

Следовательно,

n = 4 года

Значит, всего будет выплачено за 4 года:

Ответ: 17,5 млн руб.

Задача 2. Рассчитать, на сколько лет взят кредит, если известна общая сумма выплат после его погашения

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

  • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн руб.?

Решение

Рассмотрим оформление решения задачи с использованием таблицы.

Пусть кредит взят на n лет.

Годовой процент равен 25%, значит, каждый год долг увеличивается в 1/4 раза.

Составим таблицу:

Из условия задачи следует, что сумма выплаченных процентов составит 24,5 – 14 = 10,5 млн руб.

Следовательно, имеем уравнение:

Ответ: 5 лет.

Что необходимо учитывать при выполнении заданий ЕГЭ этого типа?

При выполнении задания № 15 ЕГЭ по математике профильного уровня выделим несколько важных нюансов.

  1. Наличие в задаче словосочетаний «равными частями», «долг уменьшается на одну и ту же величину» и так далее указывает на то, что речь, скорее всего, идёт именно о дифференцированном платеже.

  2. В процессе расчёта дифференцированного платежа по кредиту общая сумма кредита делится на равные части, количество которых соответствует числу проводимых платежей.

  3. Общая выплата по кредиту состоит из тела кредита и процентов, которые начисляются банком на остаток долга.

  4. В задачах с дифференцированными платежами используется формула суммы первых n-членов арифметической прогрессии: