Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.
Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ.
Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита
15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».
Решение:
Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.
I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,
r = 1,05.
Представим решение в виде таблицы.
| Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
| Февраль | Sr | Sr — 0,9S | 0,9S | 90% |
| Март | 0,9Sr | 0,9Sr — 0,8S | 0,8S | 80% |
| Апрель | 0,8Sr | 0,8Sr — 0,7S | 0,7S | 70% |
| Май | 0,7Sr | 0,7Sr — 0,6S | 0,6S | 60% |
| Июнь | 0,6Sr | 0,6S r — 0,5S | 0,5S | 50% |
| Июль | 0,5Sr | 0,5Sr | 0 | 0% |
Общая сумма выплат составит:
Общая сумма выплат от суммы кредита:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
II способ — используем частный случай.
Пусть сумма кредита равна 100 руб.
р = 0,05,
r = 1,05.
| Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
| Февраль | 100 * 1,05 = 105 | 105 — 90 = 15 | 90 | 90% |
| Март | 90 * 1,05 = 94,5 | 94,5 — 80 = 14,5 | 80 | 80% |
| Апрель | 80 * 1,05 = 84 | 84 — 70 = 14 | 70 | 70% |
| Май | 70 * 1,05 = 73,5 | 73,5 — 60 = 13,5 | 60 | 60% |
| Июнь | 60 * 1,05 = 66,3 | 66,3 — 50 = 13 | 50 | 50% |
| Июль | 50 * 1,05 = 52,5 | 52,5 | 0 | 0% |
Общая сумма выплат:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
Ответ: 22,5%.
Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:
- 1—го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
- со 2—го по 14—е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15—го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн руб.) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.
Решение:
r = 1 + р
| Долг с начисленными процентами, млн руб. | Выплата, млн руб. | Остаток долга, млн руб. | |
| Февраль | 1r | 1r – 0,6 | 0,6 |
| Март | 0,6r | 0,6r – 0,4 | 0,4 |
| Апрель | 0,4r | 0,4r – 0,3 | 0,3 |
| Май | 0,3r | 0,3r – 0,2 | 0,2 |
| Июнь | 0,2r | 0,2r – 0,1 | 0,1 |
| Июль | 0,1r | 0,1r | 0 |
Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.
Общая суммы выплат:
По условию,
Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.
По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.
Ответ: 7%.
