Проценты по кредиту с неравномерно убывающим долгом

Проценты по кредиту с неравномерно убывающим долгом

Алгоритм решения задач для ЕГЭ по математике с использованием таблицы
Преподаватель математики, консультант по финансовой грамотности

Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.

Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ.

Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».

Решение:

Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.

I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,

r = 1,05.

Представим решение в виде таблицы.

Долг с начисленными процентами,
руб.
Выплата, руб. Остаток долга, руб. Остаток долга, %
Февраль Sr Sr — 0,9S 0,9S 90%
Март 0,9Sr 0,9Sr — 0,8S 0,8S 80%
Апрель 0,8Sr 0,8Sr — 0,7S 0,7S 70%
Май 0,7Sr 0,7Sr — 0,6S 0,6S 60%
Июнь 0,6Sr 0,6S r — 0,5S 0,5S 50%
Июль 0,5Sr 0,5Sr 0 0%

Общая сумма выплат составит:

Общая сумма выплат от суммы кредита:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

II способ — используем частный случай.

Пусть сумма кредита равна 100 руб.

р = 0,05,

r = 1,05.

Долг с начисленными процентами, руб. Выплата, руб. Остаток долга, руб. Остаток долга, %
Февраль 100 * 1,05 = 105 105 — 90 = 15 90 90%
Март 90 * 1,05 = 94,5 94,5 — 80 = 14,5 80 80%
Апрель 80 * 1,05 = 84 84 — 70 = 14 70 70%
Май 70 * 1,05 = 73,5 73,5 — 60 = 13,5 60 60%
Июнь 60 * 1,05 = 66,3 66,3 — 50 = 13 50 50%
Июль 50 * 1,05 = 52,5 52,5 0 0%

Общая сумма выплат:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

Ответ: 22,5%.

Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

  • 1—го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

  • со 2—го по 14—е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  • 15—го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн руб.) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Решение:

r = 1 + р

Долг с начисленными процентами, млн руб.

Выплата, млн руб.

Остаток долга, млн руб.

Февраль 1r 1r – 0,6 0,6
Март 0,6r 0,6r – 0,4 0,4
Апрель 0,4r 0,4r – 0,3 0,3
Май 0,3r 0,3r – 0,2 0,2
Июнь 0,2r 0,2r – 0,1 0,1
Июль 0,1r 0,1r 0

Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.

Общая суммы выплат:

По условию,

Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.

По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.

Ответ: 7%.