Переменные процентные ставки

Переменные процентные ставки

Решаем задачи с разными типами переменных процентных ставок и выявляем самые выгодные условия
Частный педагог
по финансовой математике

В прошлой статье мы говорили о сложных процентных ставках и выяснили, что при накоплении они эффективнее простых. При этом мы рассматривали только фиксированные процентные ставки, то есть начисление процентов в течение всего срока вклада (или кредитования) рассчитывалось по одной и той же процентной ставке.

Сегодня мы проанализируем переменные (плавающие) процентные ставки. При их использовании предполагается, что хотя бы в двух периодах начисления за время действия кредитного или депозитного договора процентные ставки будут отличаться. Переменные ставки могут быть простыми и сложными.

Размер плавающей процентной ставки зависит от разных факторов, например, состояния денежно-кредитного рынка. Представим, некий коммерческий банк выдаёт кредиты по ставке: «ключевая ставка ЦБ РФ + 2%» (согласно Википедии, с 1 января 2016 г. по 23 марта 2021 г. ключевая ставка менялась 22 раза).

Чтобы было нагляднее, решим задачу по теме.

Задача

Депозитный договор предусматривает следующий порядок начисления: первый год 16% годовых, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1% годовых. Необходимо определить, на сколько процентов внесённая сумма должна увеличиться за два с половиной года как с учётом начислений (капитализации), так и без их учёта, то есть с использованием сложной и простой переменной процентной ставки.

I случай. Сложная процентная ставка

Начальную сумму обозначим буквой N. В первый год сумма должна увеличиться на 16% годовых:

N * 16 / 100 = 0,16N.

Так как расчёт ведём по сложной процентной ставке, необходимо прибавить начисление к начальной сумме, то есть капитализировать.

N + 0,16N = 1,16N — сумма в конце первого года.

Далее ставка увеличивается на 1%, то есть становится равна 17% годовых. Но при этом период начисления — полгода, следовательно, в расчётах используем: (17%) / 2 = 8,5%.

1,16N * 8,5 / 100 = 0,0986N — начисление за I полугодие второго года.
1,16N + 0,0986N = 1,2586N — сумма за полтора года.

В следующем полугодии ставка увеличивается до 18% годовых, то есть в расчётах используем: (18%) / 2 = 9%.

1,2586N * 9 / 100 = 0,1132N — начисление за II полугодие второго года.
1,2586N + 0,1132N = 1,3718N — сумма за два года.

Далее — 19% годовых, то есть (19%) / 2 = 9,5%.

1,3718N * 9,5 / 100 = 0,13N — начисление за I полугодие третьего года.
1,3718N + 0,13N = 1,5018N — сумма за два с половиной года.

В итоге получаем 1,5018N, что на 50,18% больше, чем начальная сумма.

II случай. Простая процентная ставка

Тут всё проще. Так же обозначим начальную сумму как N и произведём подсчёт.

N * 16 / 100 = 0,16N — начисление за первый год.
N * 8,5 / 100 = 0,085N — начисление за I полугодие второго года.
N * 9 / 100 = 0,09N — начисление за II полугодие второго года.
N * 9,5 / 100 = 0,095N — начисление за I полугодие третьего года.
N + 0,16N + 0,085N + 0,09N + 0,095N = 1,43N — сумма за два с половиной года.

В итоге получаем 1,43N, что превышает начальную сумму на 43%.

Какая процентная ставка выгоднее

При открытии депозита с переменной ставкой сложный процент оказался выгоднее простого. Так происходит только при условии одинаковых значений процентной ставки и одинаковых периодов расчёта.