Механизм получения дохода по ценным бумагам, растущим в цене

В перспективной модели ЕГЭ по математике 2022 г. экономическая задача теперь представлена под номером 16. Задание, как и раньше, будет оцениваться в три балла. Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ.

Рассмотрим задачи, которые затрагивают понятие ценных бумаг. Главное, что надо уметь при решении задач этого типа, не вникая в экономические особенности ценных бумаг, — это понимать механизм получения дохода.

В данной статье разберём задачу, по условиям которой доход получают от того, что ценная бумага, которая была куплена ранее, растёт в цене.

Задача. Рассчитываем год, в который нужно продать бумагу, чтобы сумма на счёте была наибольшей

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. руб. Её цена каждый год возрастает на 2 тыс. руб. В любой момент Алексей может продать ценную бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. I способ

Продажа ценной бумаги в течение k-го года (1 ≤ k ≤ 30) позволит открыть банковский вклад:

• сумма вклада (7 + 2k) тыс. руб.;
  
  
• ежегодный доход 10%, то есть банковский счёт увеличивается в 1,1 раза;
  
  
• срок вклада 30 — (k + 1) = 29 — k (например, акции проданы через 5 лет, но проценты по вкладу будут начисляться только со следующего года, то есть с 6-го, в течение 30 — 6 = 24 лет);
  
  
• сумма вклада через 30 лет после покупки ценной бумаги составит:

Найдём ежегодное приращение:

Следовательно, ∆ > 0 при k ≤ 8 и ∆ 8.

Значит, ценную бумагу следует продать в течение 8-го года.

Ответ: в течение 8-го года.

Решение. II способ

Рассмотрим, как меняется стоимость ценной бумаги в обоих случаях.

Следовательно, прибыль от ценной бумаги сохраняется, а депозит с ростом её стоимости приносит с каждым годом больший доход.

В какой момент этот доход станет выгодным? Тогда, когда 10% от стоимости бумаги превысят 2000 руб.:

Осталось решить неравенство, где n — целое число лет.

700+200n ≥ 2000

200n ≥ 1300

n ≥ 6,5

n = 7 лет

При сроке, равном 6 годам, неравенство ещё не выполнится. А когда пройдёт 7 лет и бумага подорожает ещё на 2000 руб., то сумма станет достаточной, чтобы проценты на депозите стали более выгодными.

Значит, на 8-й год можно её продавать.

Ответ: в течение 8-го года.