Как найти процент по кредиту или вкладу?

Разбираем решение экономических задач профильного уровня из ЕГЭ-2022 по математике

Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ.

Задачи на нахождение процента по кредиту или вкладу

Рассмотрим ряд задач, в которых требуется определить процент, под который был взят кредит или размещён вклад.

Задача 1. Рассчитать, на сколько процентов возрастает долг по кредиту

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн руб. на срок 15 лет.

Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на r по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн руб., а наименьший — не менее 0,5 млн руб.

Решение

Из условия задачи следует, что ежегодно основной долг по кредиту уменьшается на одну и ту же величину и составляет:

Очевидно, что наибольший платёж — это первый платёж по кредиту, наименьший — последний, в сумме 500 тыс. руб.

Значит, уплаченные проценты в последнем платеже составят:

500 – 400 = 100 тыс. руб.

Они будут начислены на остаток задолженности в предпоследнем месяце. Этот остаток равен 400 тыс. руб.

Ответ: 25%.

Задача 2. Рассчитать, на сколько процентов возрастает долг по кредиту

31 декабря 2020 г. Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под определённый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 587 250 руб., то за два года. Найдите а.

Решение

S руб. — сумма кредита

а — проценты по кредиту в десятичной дроби

r = 1 + а

А = 328 050 руб. — ежемесячная выплата по I схеме

В = 587 250 руб. — ежемесячная выплата по II схеме

Долг с начисленными

процентами

Выплата

Остаток долга

1

S r

А

S r – А

2

(S r – А) r

А

((S r – А) r – А

3

((S r – А) r – А) r

А

(((S r – А) r) – А) r – А

4

(((S r – А) r – А) r – A) r

А

0

1

S r

В

S r – B

2

(S r – B) r

B

0

Последний платёж при каждой схеме выплат будет равен ежемесячной выплате. Используем это при составлении системы уравнений.

Выражаем S из каждого уравнения и приравниваем:

Теперь подставляем числовые значения:

Значит, а = 1,125 – 1 = 0,125, или 12,5%.

Ответ: 12,5%.

Задача 3. Рассчитать процент, при котором сумма на счёте вкладчика станет максимально возможной

В январе 2000 г. ставка по депозитам в банке составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 г. она составила у% годовых, причём известно, что x + y = 30. В январе 2000 г. вкладчик открыл счёт в банке, положив на него некоторую сумму. Через год, в январе 2001 г., вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2002 г. станет максимально возможной.

Решение

S руб. — сумма вклада

x — проценты по вкладу в десятичной дроби в 2000 г.

y — проценты по вкладу в десятичной дроби в 2001 г.

y = 0,3 – x

Сумма вклада на 1 января 2001 г. = руб.

После снятия со счёта 1/5S на нём осталось:

Сумма вклада на 1 января 2001 г.:

Следовательно, S = S(x) — квадратичная функция. Ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Найдём абсциссу вершины параболы:

Ответ: 25%.

Сумма вклада принята в рублях. Возможно использование у. е. (условных единиц).